Déterminer la valeur de cos pi/12 - Corrigé

Énoncé

On considère les nombres complexes $z_1=1+i\sqrt{3}$ , $z_2={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-i)$ et  $Z=z_1{z}_2$ .

1. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

2. Déterminer la forme algébrique de $Z$ , puis, en utilisant la question 1, son écriture trigonométrique.

3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ et de  $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ .

Solution

1.  D'une part  $\left|z_1\right|=|1+i\sqrt{3}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$  
et donc :
$\begin{array}{r}{z}_1=2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})\end{array}$ qui est l'écriture sous forme trigonométrique de $z_1$ .
On a aussi $\arg (z_1)\equiv {\displaystyle \frac{\pi }{3}}[2\pi ]$ .

D'autre part  $z_2={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-i),\text{donc}\left|z_2\right|=\left|{\displaystyle \frac{1}{2}}\right||1-i|={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \sqrt{1+(-1{)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$
et donc 
$\begin{array}{r}{z}_2=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{2}{\sqrt{2}}-i\frac{2}{\sqrt{2}})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \frac{-\pi }{4}+i\sin \frac{-\pi }{4})\end{array}$ qui est l'écriture sous forme trigonométrique de $z_2$ .

On a aussi $\arg (z_2)\equiv -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}[2\pi ]$ .

2. $Z=z_1{z}_2=(1+i\sqrt{3})({\displaystyle \frac{1}{2}}(1-i))={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}i$ , qui est l'écriture sous forme algébrique de $Z$ .

On a aussi $\left|Z\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|=2\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$ .

Et, $\arg (Z)\equiv \arg (z_1)+\arg (z_2)\equiv {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{-\pi }{4}}\equiv {\displaystyle \frac{\pi }{12}}[2\pi ]$ .

Donc, $Z=\sqrt{2}(\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right))$  qui est l'écriture sous forme trigonométrique de $Z$ .

3. On a donc avec la question 2 : $Z=\sqrt{2}\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)+\sqrt{2}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)i$   et avec la question 1 : $Z={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}i$ .
Donc par unicité de l'écriture sous forme algébrique de $Z$ , on obtient :
$\sqrt{2}\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}$  et  $\sqrt{2}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$ .

Ainsi,  $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}$  et   $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}.$