Déterminer la valeur de cos pi/12 - Corrigé

Énoncé

On considère les nombres complexes \(z_1=1+i\sqrt{3}\) , \(z_2= \dfrac{1}{2}(1-i)\) et  \(Z=z_1 z_2\) .

1. Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.

2. Déterminer la forme algébrique de \(Z\) , puis, en utilisant la question 1, son écriture trigonométrique.

3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) et de  \(\sin\dfrac{\pi}{12}\) .

Solution

1.  D'une part  \(\left\vert z_1 \right\vert=\left\vert 1+i\sqrt{3} \right\vert=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\)  
et donc :
\(\begin{align*}z_1=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}\) qui est l'écriture sous forme trigonométrique de \(z_1\) .
On a aussi \(\arg(z_1) \equiv \dfrac{\pi}{3} \ [2\pi]\) .

D'autre part  \(z_2 = \dfrac{1}{2} (1-i) , \text{donc}\left\vert z_2 \right\vert = \left\vert \dfrac{1}{2} \right\vert \left\vert 1-i \right\vert = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{1+(-1)^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
et donc 
\(\begin{align*}z_2= \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{2}{\sqrt{2}}-i\frac{2}{\sqrt{2}}\right)= \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)= \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\cos\frac{-\pi}{4}+i\sin\frac{-\pi}{4}\right)\end{align*}\) qui est l'écriture sous forme trigonométrique de \(z_2\) .

On a aussi \(\arg(z_2) \equiv -\dfrac{\pi}{4} \ [2\pi]\) .

2. \(Z = z_1 z_2 = (1+i\sqrt{3}) \left( \dfrac{1}{2} (1-i) \right) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} i\) , qui est l'écriture sous forme algébrique de \(Z\) .

On a aussi \(\left\vert Z \right\vert = \left\vert z_1 \right\vert \left\vert z_2 \right\vert = 2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) .

Et, \(\arg(Z) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \equiv \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{-\pi}{4} \equiv \dfrac{\pi}{12} [2\pi]\) .

Donc, \(Z = \sqrt{2} \left( \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \right) + i \sin \left( \dfrac{\pi}{12} \right) \right)\)  qui est l'écriture sous forme trigonométrique de \(Z\) .

3. On a donc avec la question 2 : \(Z = \sqrt{2} \cos \left( \dfrac{\pi}{12} \right) + \sqrt{2} \sin \left( \dfrac{\pi}{12} \right) i\)   et avec la question 1 : \(Z = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} i\) .
Donc par unicité de l'écriture sous forme algébrique de \(Z\) , on obtient :
\(\sqrt{2} \cos\left( \dfrac{\pi}{12} \right) =\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)  et  \(\sqrt{2} \sin \left( \dfrac{\pi}{12} \right) = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\) .

Ainsi,  \(\cos\dfrac{\pi}{12} =\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)  et   \(\sin\dfrac{\pi}{12} =\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} .\)